Фамилия Орбодоева — редкая и территориально привязанная. Её основа — мужское имя Орбодой, которое в русской традиции закрепилось в виде Орбодоев, а женская форма Орбодоева образована стандартным прибавлением окончания -а. Носители фамилии почти наверняка имеют бурятские или монгольские корни.

Разберём имя Орбодой. Скорее всего, оно сложное: первая часть «орбо» может восходить к монгольскому «орвон» или «ороб» — «десять» (ср. бурятское «арбан»). Вторая часть «дой» — распространённый в монгольских языках аффикс обладания, означающий «имеющий», «обладающий». Таким образом, Орбодой буквально переводится как «имеющий десять» или «десятичный». Вряд ли речь идёт о счёте — скорее о символическом числе. Десять в степной культуре ассоциировалось с полнотой, десятком скота или воинов, а в буддийской традиции — с десятью совершенствами (парамитами). Имя могли дать ребёнку, родившемуся в год десятилетия какого-то события, или как пожелание многодетности и богатства.

Суффикс -ев в фамилии указывает на русское оформление: «чей?» — Орбодоев, то есть потомок человека по имени Орбодой. Такая модель типична для фамилий народов Сибири, которые вошли в состав Российской империи: бурятские, якутские, эвенкийские имена переделывали по русскому образцу. Географически фамилия Орбодоева встречается прежде всего в Бурятии, Иркутской области и Забайкальском крае — там, где исторически кочевали бурятские роды.

В словарях и справочниках фамилия не описана, что подтверждает её локальный характер. Связи с тюркскими корнями (например, с «орда») маловероятны — фонетика и типичные имена бурят говорят именно о монгольской основе. Если вы встретили Орбодоеву в метрических записях XIX века, скорее всего, её предки были скотоводами или казаками из ведомства Селенгинского или Баргузинского острогов.