Фамилия Орзих — редкий пример фамилии, образованной по модели, которая почти не встречается за пределами определённого региона. Её выдают суффикс и окончание: -их. В русской ономастике фамилии на -их и -ых (например, Седых, Чутких, Борзых) характерны для северных и центральных областей России, особенно для Архангельской, Вологодской, Вятской губерний. Они закрепляли прозвище за целым родом в родительном падеже множественного числа: «из дома Орзих» — то есть из семьи того, кого звали Орзой или Орзиком.

Основа «Орз-» тёмная и допускает несколько толкований. Самое вероятное — что перед нами вариант прозвища, связанного с диалектным словом. В русских говорах «орзать» означало «кричать, реветь» (сравните с «ореть»). Человека с громким голосом или сварливого нрава могли прозвать Орзой. Менее убедительна версия о связи с тюркскими корнями (например, от «орза» — «храбрый»), но для фамилии с русским суффиксом -их такая гипотеза требует слишком много допущений — обычно иноязычные основы в эту модель встраивают редко.

По структуре фамилия стоит в одном ряду с такими, как Шумих (от «шуметь»), Кричих (от «кричать») или Визгих (от «визжать»). Все они образованы от глагольных прозвищ, описывающих манеру поведения. Орзих, скорее всего, не исключение: предок мог получить прозвище за голосистость, привычку спорить или командовать.

Сословного барьера у этой фамилии не было: на -их оканчивались фамилии и у крестьян, и у мещан, и даже у духовенства (хотя там чаще встречались семинарские переделки). Встречаемость Орзих крайне низкая — в современных базах данных она почти не фиксируется, что говорит либо о её угасании, либо о сильной локализации в одном-двух сёлах. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах северных уездов — именно там модель на -их продержалась дольше всего.