Фамилия Основская — женская форма фамилии Основский, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ский (в мужском роде) указывает на польское или западнорусское происхождение: такие фамилии чаще всего носили дворяне, шляхта или духовенство. В русской традиции фамилии на -ский могли давать по названию имения или населённого пункта, а в крестьянской среде они появлялись реже, обычно у выходцев из духовного сословия.

Основа фамилии — «Основ-». Самое прямое объяснение: предок жил в селе или деревне с названием вроде Осново, Основка, Основская. Такие топонимы встречаются в России и на Украине, например, село Основное в Белгородской области или хутор Основской в Ростовской. В этом случае фамилия указывала на поместье или место рождения.

Но есть и другой, менее очевидный вариант. Слово «основа» в старом русском языке имело значение «начало, причина, основание». Прозвище Основа могли дать человеку, который заложил что-то новое — основал деревню, построил дом, стал первым поселенцем. Или же так могли назвать крепкого, надёжного человека, на которого всё держится. В словаре Веселовского упоминается прозвище Основа, но без прямой привязки к фамилии Основский.

Интересная деталь: фамилия Основская не так уж редка в среде потомков духовенства. В XIX веке семинаристам часто давали фамилии от абстрактных понятий (Благонравов, Добролюбов, Основский — от «основа» как «фундамент веры»). Так что часть носителей фамилии могли получить её не от географического названия, а от учителя в семинарии, который переделал простонародное прозвище в благозвучную фамилию.

Географически фамилия встречается в западных областях России (Смоленская, Брянская), на Украине и в Белоруссии — что подтверждает связь с польской моделью на -ский. Встречаются и варианты написания: Основска (без «я» на конце) — это украинская или белорусская адаптация.

Коротко: если вы Основская, ваши предки либо жили в селе с корнем «основ-», либо получили фамилию в духовном училище от слова «основа» — как символ надёжности или начала нового дела.