Фамилия Отроумов — яркий пример того, как прозвище, данное человеку за склад ума, закрепилось в родовом имени. Её основа — прилагательное «отроумный», которое в старых русских говорах означало «смышлёный, догадливый, остроумный». Приставка «от-» здесь имеет усилительное значение, примерно как в слове «отличный», то есть «отроумный» — это человек с выдающимся, «отменным» умом. Модель образования типична для русских фамилий: от качественного прилагательного через суффикс -ов- (Отроум-ов), указывающий на принадлежность потомку человека с таким прозвищем.

В отличие от более распространённой фамилии Остроумов (где корень «остр-»), вариант с «от-» встречается реже и может отражать диалектные особенности произношения. В некоторых регионах, особенно на севере и в центральной России, звук «с» перед «т» мог выпадать или переходить в «т» под влиянием местных говоров. Так что Отроумов и Остроумов — это не просто однокоренные, а, скорее всего, фонетические варианты одной и той же прозвищной основы. Первым носителем прозвища Отроумный мог быть крестьянин или посадский человек, которого в миру отличали за живой язык и нестандартное мышление — качество, заметное в общине и потому легко превращавшееся в уличное прозвище.

С точки зрения сословной принадлежности, фамилия не указывает на дворянское происхождение: суффикс -ов- и прозвищная основа характерны для крестьянской и мещанской среды. В документах XIX века Отроумовы встречаются в основном в центральных губерниях России, например, в Тверской и Ярославской. Сведений о массовом распространении фамилии за пределами этих регионов нет, что подтверждает её локальный характер.

Коротко: ваш предок получил прозвище за ум и сообразительность, а фамилия сохранила это качество в своей основе, хотя и в слегка изменённой диалектом форме.