Фамилия Отырко — редкий случай, когда корень слова не лежит на поверхности, а суффикс сразу указывает на географию. Основа «Отыр» не встречается в русских именах или нарицательных словах, и это главная подсказка: фамилия, скорее всего, украинская или южнорусская, а не великорусская.

Суффикс -ко характерен для украинских фамилий, образованных от прозвищ или личных имён (Шевченко, Коваленко). В украинском языке -ко часто придаёт уменьшительно-ласкательный оттенок, но в фамилиях он просто указывает на происхождение от конкретного человека. Основа «Отыр» может быть искажением украинского слова «отир» или «отира» — так в некоторых говорах называли человека, который «отирается», то есть постоянно находится рядом, пристаёт, не отходит. Прозвище Отыра мог получить назойливый или, наоборот, очень общительный человек.

Вторая версия, более прозаичная: фамилия могла возникнуть от личного имени Отыр, которое является вариантом канонического имени Артемий или Артём. В украинской народной традиции имена часто упрощались: Артем > Отем > Отыр. Подобные фонетические переходы (аканье, замена «е» на «ы») встречаются в южнорусских и украинских говорах. Если принять эту версию, то Отырко — это «сын Отыра», то есть потомок человека по имени Отыр (Артём).

Географически фамилия Отырко встречается в основном на западе Украины, в частности в Тернопольской и Львовской областях, а также в приграничных районах Беларуси. Это косвенно подтверждает украинское происхождение: суффикс -ко в тех краях — норма, а не исключение. В России фамилия редкая, встречается единичными семьями, что говорит о миграции носителей в советское время.

Социальный статус предков, скорее всего, был крестьянским или казачьим. Фамилии на -ко в XIX веке были массово распространены среди непривилегированных сословий на Украине, и Отырко не исключение. Никаких дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

Таким образом, наиболее вероятное объяснение: Отырко — украинская фамилия, образованная от прозвища Отыра (назойливый, приставучий человек) или от разговорной формы имени Артём (Отыр). В любом случае, носитель фамилии — потомок человека, которого в его окружении знали по характерной черте или имени.