Фамилия Падди — редкий случай для русского ономастикона. Сразу скажем: это не исконно русская фамилия, а заимствованная. В русском языке она выглядит как транслитерация иноязычной фамилии, и её происхождение почти наверняка не связано со славянскими корнями.

Первое, что бросается в глаза — отсутствие типичных русских суффиксов (-ов, -ев, -ин, -ский, -их). Фамилия стоит в «голой» форме, без патронимического окончания. Такое встречается у фамилий, заимствованных из западноевропейских языков, особенно из английского, шотландского или ирландского. В англоязычном мире фамилия Paddy — это, как правило, уменьшительная форма имени Patrick (Патрик). В Ирландии «Пэдди» — традиционное прозвище ирландцев, восходящее к святому Патрику. Таким образом, носитель фамилии Падди мог быть потомком ирландских или шотландских переселенцев, оказавшихся в России — например, среди военных специалистов, врачей или инженеров, приглашённых на службу в XVIII–XIX веках.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — фамилия могла возникнуть как русификация финно-угорского или прибалтийского прозвища. В карельском и вепсском языках есть корни, близкие к «pad» (например, «pada» — горшок, котёл). Однако в этом случае фамилия скорее получила бы суффикс -ин или -ов (Падин, Падов). Форма Падди без изменений указывает на иноязычное происхождение, где фамилия была записана в документах «как слышится».

В исторических документах Российской империи фамилия Падди встречается крайне редко. Можно предположить, что её носители принадлежали к обрусевшим иностранцам, часто дворянского или разночинного происхождения. Географически она могла закрепиться в крупных городах — Петербурге, Москве, Одессе, где селились выходцы из Британии и Ирландии. Сословная принадлежность, скорее всего, не была крестьянской: фамилия без суффикса — признак более позднего, «городского» закрепления, а не деревенской общины.

Таким образом, основная версия — ирландские или шотландские корни, уходящие в имя Патрик. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их следы среди иностранных специалистов на русской службе или в среде купцов и ремесленников, связанных с Западной Европой.