Фамилия Паихидин — редкий случай, где корень, скорее всего, не русский, а прибалтийско-финский или карельский. Первое, что бросается в глаза: окончание -ин указывает на притяжательную модель «чей?», но основа «Паих-» не встречается в славянских именах или прозвищах. Если отбросить суффикс, остаётся корень, который можно связать с карельским словом paha — «плохой», «злой» или «худой». В карельских и финских говорах paha могло означать не только моральную оценку, но и физический недостаток, например «хромой» или «больной». В таком случае Паихидин — это «сын (или потомок) Паихо», где Паихо — прозвище, данное человеку с каким-то изъяном или недобрым нравом.

Есть и другая версия, менее вероятная, но не исключённая: основа могла возникнуть из диалектного варианта имени Пахом или Паисий. В северных говорах, где «х» иногда заменяло «ф» или «с», имя Паисий могло превратиться в Паих. Однако для фамилий на -ин в русской традиции чаще брали полную форму имени (Паисиев, Пахомов), а не усечённую, так что версия с прозвищем выглядит убедительнее.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России: Карелия, Архангельская область, Вологодчина. Там, где веками жили карелы и вепсы, такие тёмные корни в фамилиях — обычное дело. Паихидин мог возникнуть в среде обрусевших карелов, когда при переходе на русский язык прозвище Paha оформили по русской модели с суффиксом -ин, означающим принадлежность к роду.

В написании фамилии нет двойных букв и чередований, что говорит о поздней фиксации — скорее всего, в XIX веке, когда метрики уже велись на русском. Сословно носители, вероятно, были государственными крестьянами или мещанами: дворянские фамилии на -ин с таким корнем не встречаются. Сравните с однокоренными фамилиями Паихов, Паихин — все они редки и указывают на одну и ту же северную основу.

Если ваши предки носили фамилию Паихидин, то с высокой долей вероятности они жили на границе русского и карельского миров, а само прозвище могло быть связано с характером или внешностью — неласковым, но точным.