Фамилия Палинская — относительно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней отчётливо слышен суффикс -ск-, который в русских фамилиях обычно указывает на географическую привязку: такую фамилию чаще всего получали по названию места, откуда человек был родом. Основа «Пал-» в этом случае — это корень топонима. Скорее всего, речь идёт о населённом пункте вроде Палино, Палинки или Пальна. Такие названия встречаются в разных регионах России, особенно в центральных и южных областях. Например, Палино есть в Липецкой области, Пальна — в Тульской. Житель такого села или деревни, переезжая в другое место, мог получить прозвание Палинский — «тот, кто из Палина». Фамилия Палинская — женская форма от Палинский, которая закрепилась за женщинами в документообороте.

Менее вероятна, но возможна версия, что основа «Пал» восходит к личному имени или прозвищу. В старину существовало неканоническое имя Пал, которое могло быть сокращением от Павел или же самостоятельным прозвищем, связанным, например, со словом «палить» (выжигать лес под пашню). В таком случае фамилия Палинский означала бы «сын Пала». Однако суффикс -ск- в русских фамилиях от прозвищ встречается реже, чем -ов или -ин, поэтому географическая версия выглядит убедительнее.

Обратите внимание на окончание -ая. В русской традиции фамилии на -ский/-ская были характерны для дворянства и духовенства, но в XIX веке они широко распространились среди крестьянства, особенно после отмены крепостного права. Палинская могла принадлежать как потомкам священника, служившего в селе Палино, так и крестьянам, переселившимся в город и взявшим фамилию по месту прежнего жительства. В любом случае, фамилия крепко привязана к земле — к конкретному месту, где жили ваши предки.