Фамилия Панаекоаща настолько редкая, что не встречается ни в одном из доступных ономастических словарей, включая фундаментальные труды Б. Унбегауна и В. Никонова. Её написание — с буквосочетанием «ща» на конце — сразу выбивается из привычного ряда славянских фамильных окончаний. В русской традиции фамилии на -ща почти не образуются: это либо украинизированные формы (например, от глаголов вроде «пища»), либо заимствования из других языков. Поэтому первое, что приходит в голову при взгляде на «Панаекоаща», — искажение при записи или нерусское происхождение.

Вероятнее всего, перед нами опечатка или результат «народной» адаптации иностранной фамилии. Основа «Панаеко» — нехарактерна для восточнославянских языков, где скорее встретилось бы «Панаев» (от греческого имени Панайот) или «Панасенко». Можно предположить, что исходная форма звучала как «Панакевич» или «Панайотис» — греческая фамилия, которую при записи в российских документах могли переиначить. Суффикс -коащ- нигде не фиксируется как продуктивный, а окончание -ща могло появиться из-за смешения с украинским произношением (сравните: «товарища» вместо «товарищ»). Если же это не ошибка писаря, то корень может быть связан с диалектным словом «панак» (устар. «господин» в некоторых говорах) или с тюркским «пана» (защита, убежище), но тогда фамилия должна была оформиться через суффикс -ов или -ин.

Географически фамилия могла возникнуть в регионах, где смешивались русские, украинские и греческие переселенцы — например, в Новороссии или на Кубани. В таких местах письменная фиксация фамилий была хаотичной, и редкие формы легко искажались. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит проверить архивные записи конца XIX века: скорее всего, в метрических книгах она выглядела иначе — ближе к «Панайко» или «Панаев». Единственное, что можно сказать с уверенностью: это не типичная русская фамилия, а скорее редкий след миграции или канцелярской ошибки, который делает её уникальной, но лишает однозначной этимологии.