Фамилия Папошин — редкий пример, где суффикс указывает на географию точнее, чем корень. В ней два суффикса: -ош- и -ин. Модель «основа + -ош- + -ин» типична для севернорусских и отчасти сибирских фамилий. Такие формы, как Папошин, Копошин, Топошин, встречаются в архангельских, вологодских и вятских говорах. Суффикс -ош- придаёт прозвищу оттенок уменьшительности или пренебрежительности, а -ин указывает на принадлежность: «сын Папоши» или «человек из семьи Папоши».

Корень — пап-. Скорее всего, это вариант личного имени Папа, Папка, Папушка — домашней формы канонического имени Павел (от лат. paulus — «малый»). В русских говорах «папа» означало не только отца, но и хлеб (в детской речи), а также горбуна (диалектное «папка» — горбатый). Поэтому Папоша могло быть прозвищем либо по отцовской линии (если человека звали по отцу — «папин сын»), либо по внешнему признаку (горбатый, сутулый). Вторая версия — от слова «папа» в значении «хлеб»: Папошей могли прозвать пекаря или любителя поесть.

В документах фамилия почти не встречается. В XIX веке Папошины фиксируются в Вятской губернии и на Урале — в среде государственных крестьян и мастеровых. Дворянских родов с такой фамилией нет. Написание устойчивое, без вариантов, что указывает на позднюю фиксацию (после реформы орфографии). Если ваши предки Папошины — скорее всего, выходцы из северных или уральских деревень, где прозвища на -оша были в ходу.