Фамилия Парщиков образована от прозвища Парщик, которое восходит к глаголу «парить». Вопреки возможному соблазну связать её с современным значением «париться» или «испаряться», корень здесь указывает на конкретное действие — обработку паром в бане. Скорее всего, Парщиком называли человека, который парил посетителей веником, делал массаж и следил за жаром в парной. Это типичное «профессиональное» именование: в старину банное дело требовало сноровки, и мастера, умевшего поддать пару да не пережечь, ценили. Показательно, что в народной речи сохранились поговорки, подчёркивающие уважение к этому занятию: «Пар костей не ломит», «Спасибо на парку, не бывши на полку!», «В баню идти — пару не бояться», «Любить парко, любить и жарко», «Люби пар, люби и угар».

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: суффикс -щик- (в диалектном произношении — -щик/-чик) указывает на лицо по роду деятельности, а фамильный суффикс -ов добавляет значение принадлежности. То есть Парщиков — это «сын Парщика», потомок человека, чьё ремесло или прозвище было связано с баней. Такая модель широко распространена в русских фамилиях: рядом стоят Печников, Бондарев, Колесников, и Парщиков в этом ряду не выглядит исключением.

Интересно, что прозвище могло закрепиться не только за самим банщиком, но и за завсегдатаем, который любил подолгу париться и славился этим среди соседей. Впрочем, первая версия — профессиональная — выглядит правдоподобнее: прозвища по ремеслу чаще переходили в фамилии, чем бытовые характеристики. В пользу этого говорит и сам глагол «парить» в его прямом значении — именно так в банном деле называли подачу пара на полок.

Фамилия редкая, в общероссийских справочниках массово не встречается, что типично для профессиональных прозвищ, закрепившихся в отдельных сёлах или городских слободах. Если ваши предки носили фамилию Парщиков, можно с высокой долей уверенности предположить, что среди них был банщик или человек, тесно связанный с банным промыслом. Точных дат и известных исторических носителей этой фамилии в открытых источниках нет, но само прозвище звучит живо и по-русски: оно не книжное, а вышло из повседневной речи, из тех мест, где баня была не роскошью, а необходимостью.