Фамилия Парыкваш — редкий случай, когда основа слова почти наверняка не славянская, а тюркская или, возможно, кавказская. На слух она кажется искусственной или книжной, но на деле её могут носить потомки выходцев с южных окраин Российской империи.

Разберём корень. Первая часть «парык» или «парых» в тюркских языках (например, в казахском, татарском, башкирском) означает «пар» или «испарение», но в переносном смысле могла относиться к горячему нраву, вспыльчивости или даже к запаренному корму для скота. Вторая часть «ваш» — это, скорее всего, искажённое тюркское «баш» (голова, глава, начало). Если соединить: «парык баш» — «горячая голова» или «вспыльчивый глава». Прозвище могли дать человеку с крутым нравом, который быстро «закипал».

Вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование: фамилия могла возникнуть на стыке языков, в среде, где смешивались тюркские и финно-угорские диалекты. В некоторых говорах коми или удмуртов «парык» — это «поросёнок» или «свинья» (от русского «поросёнок» через местное произношение). Тогда «парыкваш» — «свиная голова», прозвище, данное либо за внешность, либо за упрямство.

Суффикс в фамилии отсутствует в привычном русском понимании (-ов, -ин). Это указывает на то, что фамилия застыла в форме прозвища или была русифицирована без добавления типового окончания. Такое часто случалось с фамилиями, которые записывали со слов носителя в XIX веке, не переделывая на русский лад. Географически фамилия могла закрепиться в Поволжье, на Урале или в Оренбуржье — в зоне контакта тюркских и финно-угорских народов. Сословно: скорее всего, это фамилия бывших государственных или удельных крестьян, реже — однодворцев. Дворянских родов с такой фамилией в исторических источниках не встречается.

Таким образом, Парыкваш — это не «квашеная пара» и не забавная опечатка, а старое прозвище, которое закрепилось за родом вспыльчивого или упрямого человека, жившего на этническом стыке.