Фамилия Пасадский почти наверняка — фонетический вариант более привычного написания Посадский. В «акающих» говорах, где безударная «о» звучит как «а», письменная форма постепенно закрепила произношение: так и получился Пасадский. Поэтому искать корень нужно в слове «посад».

В русских княжествах X—XVI веков посад — это торгово-ремесленное поселение, которое располагалось вне городских стен, а позже часто становилось частью самого города. Там жили мещане: ремесленники, торговцы, мелкие производители. Иногда посады делились на слободы и сотни по роду занятий или месту жительства. Так что Посадским, а значит и Пасадским, скорее всего, называли именно жителя посада — обывателя, торгового человека, человека «посадского» сословия.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: основа «посад» плюс суффикс «-ск-» и типичное фамильное окончание «-ий». Такая модель характерна для фамилий, которые указывали на территориальную принадлежность или происхождение человека, — по тому же принципу образованы, например, Городецкий или Слободской.

Интересно, что ударение в фамилии обычно падает на второй слог — Пасадский, хотя исходное нарицательное «посад» имеет ударение на первом. Это тоже следствие «аканья»: гласный в первом слоге редуцировался, и носители языка перестали связывать фамилию с исходным словом напрямую.

В документах и переписи XIX века чаще встречается написание через «о», но вариант с «а» устойчиво бытует в тех регионах, где аканье было нормой, — прежде всего в среднерусских и южнорусских говорах. Поэтому, если ваши предки носили фамилию Пасадский, с большой долей вероятности они происходили из этих мест.