Фамилия Паштыков образована по классической русской модели с суффиксом -ов, который указывает на принадлежность: «чей?» — сын Паштыка. Основа здесь — прозвище или, реже, нецерковное имя Паштык. Разбираем эту основу.

Скорее всего, перед нами прозвище, связанное с диалектным словом «паштык» — так в некоторых русских говорах называли глиняный горшок, кринку или небольшой закопченный кувшин. Прозвище могли дать либо гончару, либо человеку приземистому, коренастому (по ассоциации с формой сосуда), либо тому, кто ходил в закопченной одежде (как горшок от печи). В этом случае фамилия — типичный пример «ремесленного» или «бытового» прозвища, перешедшего в фамилию.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная: основа восходит к тюркским языкам. В ряде тюркских диалектов «паштык» или «баштык» — это «головной убор», «шапка» (ср. «башлык»). Тогда прозвище могло относиться к человеку, носившему характерный головной убор, или к тому, кто их шил. Однако для русского ономастикона это редкий путь, и версия с глиняным горшком выглядит для фамилии Паштыков более органичной: она укладывается в ряд фамилий от названий утвари (Горшков, Ковшов, Кувшинов).

Географически фамилия встречается преимущественно в южных и центральных областях России, а также у потомков переселенцев на Урале и в Сибири. Встречаемость невысокая, что характерно для фамилий от диалектных, локально распространенных прозвищ. Суффикс -ов указывает на то, что фамилия сформировалась в великорусской среде, а не, скажем, в украинской или белорусской (там был бы суффикс -ук или -енко).

Если исходить из первой версии, предок носителя фамилии мог быть гончаром, либо человеком с характерной внешностью или привычкой, за которую его прозвали «паштыком». Фамилия недвусмысленно указывает на конкретное прозвище, и её значение — «потомок Паштыка».