Фамилия Паслаев — редкая и неочевидная по происхождению. Если отбросить случайное созвучие с «пасла» (форма глагола «пасти»), то искать корень нужно не в русском, а в тюркских языках. Скорее всего, в основе лежит тюркское мужское имя Паслай или Пасла — его вариант, записанный русскими писцами как Паслай. В татарском, башкирском и других тюркских языках слово «баслау» или «паслау» означает «начинать», «зачинать», а также «давить», «наступать». Имя с такой семантикой могли давать ребёнку, родившемуся первым в семье, или, напротив, крепкому, настойчивому мальчику. В русской среде имя Паслай переосмыслили по модели отчества: Паслай → Паслаев — «сын Паслая».

Вторая версия, менее вероятная, но допустимая: фамилия могла возникнуть из прозвища Пасло. В некоторых говорах «пасло» называли пастуха, но это слово редкое, а сама фамилия не встречается в ареалах распространения пастушеских прозвищ (север и центр России). Если бы корень был чисто русским, мы бы ожидали форму Паслов, а не Паслаев. Суффикс -аев характерен для фамилий из тюркских имён на твёрдый согласный (ср. Алпаев, Каратаев, Мамаев).

Географически носители фамилии Паслаев встречаются в Поволжье и на Южном Урале — в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской области. Это косвенно подтверждает тюркскую версию: именно в этих регионах русское население веками контактировало с татарами и башкирами, заимствуя имена и прозвища. Фамилия не относится к дворянским, не фиксируется в старой родословной литературе — скорее всего, это фамилия крестьянская или казачья, оформившаяся в XVII–XVIII веках.

Если у вас есть семейное предание, что предки занимались скотоводством, версия с пастухом может показаться привлекательной, но лингвистически форма Паслаев настаивает на имени, а не на профессии.