Фамилия Пасыноква — редкий случай, когда написание заставляет задуматься. Если вы встретили именно такой вариант, с конечной «-ва», это почти наверняка искажение или описка. Правильная и исторически верная форма — Пасынков. Суффикс «-ов» указывает на принадлежность: Пасынок — это сын, а Пасынков — «чей?» — сына Пасынка. Вариант же «Пасыноква» мог возникнуть в документах из-за того, что женская форма фамилии (Пасынокова) сократилась при записи, или из-за диалектного произношения, где «-ов» переходило в «-ва» на слух.

Основа фамилии — слово «пасынок». В древнерусском языке так называли неродного сына, приёмного или рождённого от первого брака одного из супругов. Прозвище Пасынок давали не только по семейному положению. В крестьянской среде так могли назвать ребёнка, воспитывавшегося не у родных родителей, или взрослого человека, который жил «в чужих людях», работал батраком. В некоторых говорах «пасынок» имело и переносное, оценочное значение — «обделённый», «обиженный судьбой», но без резко негативного оттенка.

Словообразовательная модель проста: корень «пас-» (от «пасти», то есть «кормить», «воспитывать»), приставка «па-» (значение «подобия», «неполноты», как в словах «падчерица», «паводок») и суффикс «-ынок». Фамилия Пасынков — типичная «патронимическая», то есть образованная от личного прозвища отца. Встречается она в основном в центральных и северных областях России, где были сильны традиции записи по отцу. Ономасиологи (например, Б. Унбегаун в «Русских фамилиях») относят такие фамилии к древнейшему пласту, возникшему ещё в XV–XVI веках.

Если же вы уверены, что фамилия в вашей семье пишется именно как Пасыноква, стоит проверить архивные записи: возможно, это женская форма, закрепившаяся за вдовой или незамужней женщиной, которую в метриках записали с окончанием «-ва» вместо «-ова». Такое встречалось в южнорусских говорах. Но в любом случае, корень один — прозвище, связанное с положением в семье.