Фамилия Паймышев — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Чтобы разобраться, нужно отталкиваться от суффикса и возможной основы, причем сразу отбросив самые очевидные, но ложные пути.

Суффикс -ев указывает на русскую патронимическую модель: «чей?» — Паймышев, то есть сын Паймыша. Основа Паймыш — это неканоническое личное имя или прозвище. Первое, что приходит в голову, — связь с тюркским словом «пай», что значит «доля, часть, счастье, удача». В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) «пай» — широко распространенный компонент имен, например, Паймурза (счастливый господин) или Пайбек. В таком случае Паймыш можно расшифровать как «счастливый, удачливый» или «тот, кому досталась доля». Суффикс -ыш в тюркских именах часто придает уменьшительно-ласкательный или конкретизирующий оттенок (сравните: Ураз — Уразыш, Кул — Кулыш).

Вторая, менее вероятная, но возможная версия — связь с финно-угорским субстратом (коми, удмуртский, марийский). В этих языках есть слова, звучащие похоже, но их значение часто бытовое или географическое, а не личное. Например, в коми «пай» может означать «клин» или «часть», а «мыш» — «спина» или «задняя часть». Однако складывать их в фамильное прозвище искусственно — это натяжка. Прямых параллелей с известными финно-угорскими фамилиями (вроде Пайвин, Пайкин) у Паймышева нет.

География фамилии подсказывает, что она не случайна для Поволжья и Приуралья. Носители фамилии Паймышев встречаются в Татарстане, Башкортостане, а также в Оренбургской и Челябинской областях. Это территория, где веками жили рядом русские, татары, башкиры и финно-угорские народы, и фамилии часто переходили из языка в язык. Скорее всего, предок носителя фамилии был крещен, и его тюркское имя Паймыш (или Паймыш) записали в церковной книге по русской модели — Паймышев. Сословно это могли быть государственные крестьяне или служилые татары, которые после принятия православия получали фамилии по отцовскому имени.

Итог: Паймышев — это «сын счастливчика». Фамилия образована от тюркского имени-пожелания, распространенного в среде волго-уральских народов. Встречается она редко, и её носители, скорее всего, имеют корни в смешанной русско-татарской или русско-башкирской среде.