Фамилия Пегишев звучит так, будто за ней стоит либо прозвище, либо тюркское имя. Второе — вероятнее всего. В основе фамилии лежит тюркское мужское имя Пегиш или Бигиш. В татарском и башкирском именословах встречается имя Бигиш, которое восходит к древнетюркскому «бег» (князь, господин) с уменьшительным суффиксом -иш. То есть Бигиш — «князёк», «господинчик». Со временем, при переходе в русскую среду, начальное «б» могло оглушиться до «п», и Бигиш превратился в Пегиша.

Есть и вторая, менее убедительная версия: от русского диалектного слова «пегий» (пёстрый, рябой). Прозвище Пегиш могли дать человеку с заметной внешностью — например, с сединой в бороде или веснушками. Но против этой версии говорит суффикс -иш, который нетипичен для русских прозвищ, образованных от прилагательных. Обычно русские прозвища на -иш (Глупыш, Малы́ш) образуются от основ существительных или глаголов, а не от цветообозначений.

Фамилия образована по стандартной русской модели: к основе Пегиш добавили патронимический суффикс -ев, означающий «сын Пегиша». Так что Пегишев — буквально «сын человека по имени Пегиш». Судя по суффиксу, фамилия могла закрепиться в среде крестьян или служилых людей, а не в дворянских родах, где предпочитали фамилии на -ский.

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Приуралью — регионам, где веками жили бок о бок русские и тюркские народы. Встречается она нечасто, что тоже указывает на конкретное родовое гнездо, а не на массовое прозвище. Если ваши предки носили фамилию Пегишев, скорее всего, они происходят из крещёных татар, башкир или из русских, живших в тюркоязычном окружении.