Фамилия Перепуст — редкий случай, когда за основу взято не имя, не профессия и не внешность, а глагол со значением действия. Её ядро — древнерусский глагол «перепустить» (пропустить, дать пройти, переправить). Человек, получивший такое прозвище, мог быть перевозчиком, содержателем переправы или просто тем, кто «перепускал» людей через реку, овраг или границу. В говорах слово «перепуст» означало и «промежуток», «проход», так что прозвище могло закрепиться и за живущим у узкого прохода.

Модель образования проста: основа глагола плюс нулевой суффикс (типичный способ для прозвищ-характеристик). Фамилии на -уст, -уст встречаются в русском языке редко, чаще в белорусском и украинском ареалах. Это даёт основание предполагать западнорусское или южнорусское происхождение: в брянских, смоленских, черниговских говорах слово «перепуст» фиксируется в значении «перегон скота через реку» или «место, где перегоняют». Возможно, предок был пастухом или владельцем брода.

Суффикса нет — фамилия осталась в форме чистого прозвища, без типичного -ов или -ин. Такие «голые» фамилии (Перепуст, Скоробогат, Непейвода) свойственны украинской и белорусской традиции, но встречаются и в русских регионах, граничащих с Украиной. Если бы фамилия оформилась в центральной России, она скорее звучала бы как Перепустов.

Спорных версий две. Первая — от имени Перепуст как варианта крестильного имени Пуст (редкое, но встречавшееся у старообрядцев). Вторая — от слова «пустота» (дескать, «перепуст» — тот, кто перешёл в пустошь). Обе слабы: ни в одном историческом словаре имён нет такого варианта, а связь с «пустотой» семантически натянута. Правдоподобнее всего — прозвище по занятию или месту жительства.

В документах фамилия почти не мелькает. В переписях XVII–XVIII веков она не зафиксирована в боярских или служилых списках — скорее всего, бытовала среди крестьян и казаков. Современные носители встречаются в основном в Беларуси, на западе Брянской области и в Краснодарском крае (потомки переселенцев).