Фамилия Пивкопа — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а глагольная конструкция, свёрнутая в прозвище. Скорее всего, перед нами бывшее прозвище «Пивкоп» или «Пивкопа», образованное от повелительного наклонения глагола «пить» и существительного «коп» (от «копать») или от уже готового оборота «пей копа» — то есть «пей, пока копаю». Такие прозвища-команды («Держиморда», «Сорвиголова», «Пейвода») в русской ономастике встречаются, но нечасто. Вторая часть «-копа» может указывать на род занятий: копальщик, землекоп, колодезник. Если предок носил такое прозвище, то он либо работал на рытье канав, колодцев или могил, и его в шутку или всерьёз призывали пить во время работы, либо, наоборот, был мастером пивоварения, которого иначе называли «Пей-копа» — пей и копай (то есть готовь солод, зарывай ёмкости).

Фамилия явно недворянская и нестарая: по суффиксу -а она тяготеет к украинской или южнорусской модели, где окончание -а нередко закреплялось за прозвищами, а затем переходило в фамилию без изменений (как Шульга, Голота, Кривонога). В русской среде такая фамилия могла бы писаться как Пивкопов, но форма Пивкопа сохранилась в тех регионах, где фамилии на -а не переделывали под стандартный -ов. Это может говорить о происхождении из западных или южных областей бывшей Российской империи — например, из Черниговщины, Полтавщины, Курской или Воронежской губерний.

Написание фамилии с одним «п» (Пивкопа, а не Пивкоппа) указывает на то, что вторая часть осознавалась не как «коппа» (от греческого «коппа» — буква), а именно как «копа» — действие или предмет, связанный с копанием. В говорах «копа» означала и яму, и копку, и даже меру сена (копна), но в данном контексте вероятнее именно действие.

Поскольку фамилия очень редкая, точных исторических документов о её носителях в открытых источниках почти нет. Можно предположить, что она появилась не раньше XVII века, когда в крестьянской среде стали массово закрепляться прозвища, и не позже начала XX века, когда фамилию могли записать по паспорту. Сословно — почти наверняка крестьянская или казачья.