Фамилия Побержина — женская форма фамилии Побержин. В русской традиции фамилии на -ин образуются от основ, оканчивающихся на -а или -я, и указывают на принадлежность: «чей?» — Побержин, то есть сын или потомок человека по прозвищу Побержа.

Основа фамилии — слово «побержа» или «побержье». В русских говорах «побержье» означает берег, побережье, прибрежная полоса. Скорее всего, прозвище Побержа получил человек, живший у воды, на берегу реки или озера. Такие прозвища по месту жительства были распространены: Рыбак, Заозёрский, Набережный. В данном случае суффикс -ж- (как в «побережье») указывает на признак места, а окончание -а могло быть диалектной формой или результатом переосмысления слова.

Менее вероятная версия — связь с глаголом «побержать» (подержать, немного удержать) или с диалектным «бержа» (опора, подпорка). Но в ономастике чаще встречаются топонимические прозвища, чем отглагольные. К тому же в русских фамилиях корень «берж-» почти всегда отсылает к берегу (сравните: Березин, Берёзкин — от «береза», но тут другая фонетика).

Фамилия редкая. Встречается в основном в центральных и северных областях России, где сохранились архаичные говоры. По сословной принадлежности предки Побержиных могли быть крестьянами или мещанами — фамилии на -ин в XIX веке были массовыми именно в этих слоях. Дворянские фамилии на -ин чаще образовывались от личных имён (Пушкин, Голицын), а не от прозвищ по местности.

Ударение, судя по типичной модели, падает на второй слог: Побéржина. В разговорной речи возможны варианты, но исходная форма Побержа — с ударением на «е».