Фамилия Побежаева образована от прозвища Побежай — повелительной формы глагола побежать. В русской традиции прозвища в форме глагольного императива давали людям за характерную особенность поведения: так могли назвать непоседу, торопыгу или того, кто часто куда-то бегал. В отличие от фамилий на -ов/-ев, образованных от полных имен или прозвищ, модель на -аев встречается реже и указывает на древнюю основу, где суффикс -ай- (сравните: Побежай → Побежаев) служил для адаптации глагольной формы в фамильное имя.

Корень фамилии — бег- (побежать), общеславянский, связанный с движением. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» подобные образования (Гуляев, Сидяев, Бегаев) отнесены к прозвищным, отражающим бытовые черты человека. В случае Побежаева прозвище могло закрепиться за человеком, который работал гонцом, посыльным или просто отличался подвижностью. Возможна и ироническая версия: так могли прозвать медлительного человека — в насмешку.

Географически фамилия редкая. По данным переписей и архивов, основные очаги бытования — центральные регионы России (Тверская, Ярославская, Владимирская области) и юг (Ростовская область). Встречается и в Беларуси, что объяснимо миграциями крестьян в XIX веке. Сословно носители фамилии — в основном крестьяне и мещане; дворянских родов Побежаевых не зафиксировано.

Спорных версий происхождения немного. Иногда фамилию ошибочно связывают с топонимом Побежаево (такие деревни есть в Костромской и Смоленской областях), но на деле это обратный процесс: деревни названы по фамилии первопоселенцев, а не наоборот. Также неверно возводить Побежаева к «побеждать» — это народная этимология, не подтвержденная словообразованием.