Фамилия Побежаев — одна из тех, что образована от глагольной основы, а это сразу указывает на прозвищное происхождение. В её основе лежит глагол «побежать» или его более старая форма «побегати». Носитель такого прозвища мог получить его за особую быстроту, торопливость, суетливость или, напротив, за склонность к побегам (в значении «беглец»). В русских говорах слово «побегай» фиксировалось как прозвище непоседливого, вертлявого человека, который всё время куда-то спешит.

Морфологически фамилия строится по стандартной модели: основа глагола (побежа-) плюс суффикс принадлежности -ев. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий: в древнерусском произношении «Побежай» давало форму притяжательного прилагательного «Побежаев» — то есть «сын Побежая». Такая модель типична для северных и центральных областей России, где фамилии на -ев широко распространены.

Интересная деталь: в отличие от фамилий с корнем «бег-» (Беглов, Бегунов), где основа существительное, Побежаев сохраняет глагольную приставку «по-». Она придаёт оттенок однократности или начала действия — «побежал», а не «бежал». Это редкий случай, когда фамилия буквально «застыла» в форме прошедшего времени, что делает её похожей на такие фамилии, как Побегалов, Побегушин или Победоносцев (но там уже другая семантика).

Встречается фамилия преимущественно в центральных регионах России, особенно в Тверской и Ярославской областях, а также среди старообрядческого населения. Письменные упоминания XVIII века фиксируют крестьян и посадских людей с прозвищем Побежай — например, в переписных книгах Переславль-Залесского уезда. Дворянских родов с этой фамилией не отмечено, что типично для прозвищ, перешедших в фамилии без изменения.

Если ваши предки носили фамилию Побежаев, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками, а родоначальник отличался подвижностью — либо физической, либо социальной (например, часто менял место жительства). В любом случае, фамилия звучит динамично и не даёт заскучать.