Фамилия Побежимова образована от прозвища Побежим. Человек, его получивший, отличался скоростными качествами. Оно может свидетельствовать и о некоторой неусидчивости: человек с таким прозвищем мог делать все на бегу, неаккуратно. Возможно также, что прозвище Побежим имеет отношение к профессии предка: он мог быть гонцом, посыльным. Согласно другой версии, в основе этой фамилии лежит украинское слово «побiжний» - «попутный». Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Побежим, со временем получил фамилию Побежимова.