Фамилия Побежимова — редкий пример русской фамилии, образованной от глагольной формы. В её основе лежит прозвище Побежим, которое, скорее всего, возникло из повелительного наклонения «побежим» — то есть «побежим, поспешим». Так в старину могли окликнуть торопливого человека, и это обращение закрепилось за ним как имя.

Носитель прозвища Побежим, судя по всему, выделялся скоростными качествами. Он мог быть быстроногим гонцом, посыльным, которого срочно отправляли с вестями, — такая профессия в допетровской Руси ценилась, ведь от скорости доставки грамоты зависели судьбы городов. Но прозвище могло указывать и на характер: человек всё делал на бегу, суетливо, неаккуратно, за что и получил насмешливое прозвище.

Существует и вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на жизнь. Она возводит основу к украинскому слову «побiжний» — «попутный». В этом случае прозвище Побежим могло закрепиться за человеком, который постоянно находился в дороге, сопровождал обозы или жил при тракте. Однако эта гипотеза уязвима: украинское прилагательное не даёт естественной формы «Побежим» — скорее мы бы ждали Побiжний или Побежный. Форма с окончанием «-им» указывает именно на глагольное происхождение.

Сама фамилия построена по простой и понятной модели: к прозвищу Побежим добавили типичный русский суффикс -ов, а затем родовое окончание -а. Так что Побежимова — это буквально «дочь (или жена) Побежима». Фамилия закрепилась в северных и сибирских говорах, где глагольные прозвища встречались чаще, чем в центральных областях, — там любили точные, ёмкие характеристики человека.

Родственные фамилии — Побежимов, Побежимкин, а также более поздние Побежимский — встречаются в документах начиная с XVII века, когда крестьян и посадских людей начали массово записывать по прозвищам отцов. Тогда Побежим и стал Побежимовым, а его потомки, уже не помня о быстроногом предке, понесли эту фамилию через века.