Фамилия Побирская — женская форма фамилии Побирский, и её происхождение связано не с профессией или именем, а скорее с прозвищем или географическим названием. В основе лежит корень «побир-», который в русских говорах мог означать «тот, кто берёт, собирает» — например, побируха (нищий, попрошайка). Однако не стоит спешить с выводом, что предок был бедняком: в ономастике есть и другая версия.

Возможно, фамилия образована от топонима — села или деревни с названием Побирка, Побиры или Побирское. Такие названия могли возникнуть от местности, где «побирали» (собирали) что-то: ягоды, грибы, лесной материал, или от реки с похожим именем. В этом случае суффикс «-ский» указывает на принадлежность к месту: Побирский — «выходец из Побирки». Фамилии на «-ский» чаще всего носили дворяне или духовенство, но в XIX веке их активно давали и крестьянам, переселившимся из одной губернии в другую.

Есть и третий, более редкий вариант: корень «побир» мог быть связан с диалектным словом «побираться» — то есть «пробиваться, добывать пропитание с трудом». Тогда прозвище Побира (или Побир) давали человеку, который постоянно что-то искал, добывал, возможно, был предприимчивым или неугомонным. В любом случае, фамилия не относится к числу массовых и встречается в основном в центральных и южных регионах России, а также на Украине.

Что касается ударения, в русском языке оно чаще падает на второй слог — Поби́рская, хотя в некоторых говорах возможно смещение. Споры о точном значении остаются, но ясна одна деталь: фамилия не аристократическая и не искусственная (как семинарские), а народная, живая. Если ваши предки носили её, они, скорее всего, были крестьянами или мещанами, а их прозвище закрепилось в документах при переписях или переходе на постоянные фамилии в XVIII–XIX веках.