Фамилия Побирская или Побирский — это пример относительно редкой модели, где основа, скорее всего, связана не с географическим названием, а с личным прозвищем или родом занятий. Вопреки распространённому мнению, суффикс -ский не всегда указывает на дворянское происхождение или владение землёй; на востоке и юге Украины, а также в польско-литовских землях так могли образовывать фамилии от прозвищ ремесленников или крестьян.

Ядро фамилии — корень «побор-». В древнерусском языке «побирать» означало «собирать, взимать подать, налог» или «просить милостыню». Соответственно, Побирский мог быть потомком сборщика податей (побирателя) или, в более просторечном смысле, нищего, который «побирается». Второй вариант менее вероятен для фамилии с притяжательным суффиксом -ск-, так как прозвища нищих чаще давали в форме Побируха или Побирайло, а Побирский звучит как указание на принадлежность к человеку с таким прозвищем: «сын Побира» или «из рода Побира».

Есть и альтернативная версия, связанная с топонимом. В Беларуси и на западе России существуют деревни с названием Побирщина или Побирки. В таком случае фамилия указывает на выходца из этого поселения. Однако, в отличие от фамилий вроде Московский или Тверской, корень не привязан к известному городу, поэтому версия с прозвищем кажется более правдоподобной для большинства носителей.

С точки зрения словообразования, форма Побирский — это типичная патронимическая или топонимическая модель, характерная для шляхты и крестьянства Речи Посполитой. Встречается она чаще в западных областях современной Украины (Волынь, Подолье) и южной Беларуси. Если ваш предок носил эту фамилию, он с высокой вероятностью происходил из среды мелкой служилой шляхты или зажиточных крестьян, чья фамилия закрепилась через прозвище предка-сборщика или через название хутора.