Фамилия Побива — редкий случай в русском ономастиконе, где корень не связан с глаголом «побивать» (наносить побои), а уходит в профессиональную сферу. Скорее всего, перед нами прозвище, закрепившееся за человеком, который занимался обивкой или покрытием чего-либо. В русских говорах слово «побивать» имело значение «обивать, покрывать чем-либо»: побить сундук железом, побить дом тёсом. Отсюда и «побива» — мастер по обивке, например, сундучник или кровельщик. В пользу этой версии говорит и то, что фамилия не имеет типичного патронимического суффикса (-ов, -ин), что характерно для прозвищ, которые перешли в фамилии в неизменной форме, особенно в южнорусских и украинских землях.

Словообразовательно фамилия стоит особняком. Модель «глагольная основа + -а» (как «Задира», «Обжора») обычно даёт прозвища по действию, но здесь действие — не агрессивное, а ремесленное. В украинском языке есть слово «побивач» — обойщик, и фамилия Побива могла возникнуть как его усечённый вариант. Встречается она преимущественно на западе России и в Беларуси, где суффикс -а в прозвищах был распространён шире, чем в северных областях. Географическая привязка — ещё один аргумент против военной или карательной трактовки: в этих регионах «побивать» в значении «убивать» звучало бы иначе.

Альтернативная версия, которую иногда выдвигают, — связь с диалектным «побива» как «побоище» или «место драки». Но она слаба: прозвище по месту (типа «Пожар» или «Болото») редко давали человеку, а если бы и дали, то скорее в форме «Побивин» или «Побивский». Фамилия Побива, скорее всего, сохранила память о предке-ремесленнике, который «обивал» — утеплял, обшивал, покрывал. В дореволюционных переписях такая фамилия встречается единично, и её носители числились среди мещан и крестьян, что подтверждает рабочее происхождение.