Фамилия Побойкова — женская форма от Побойков, и её разбор стоит начать с основы «побой-». В русских говорах слово «побой» имело несколько значений, и все они связаны с действием или результатом удара. Самое прямое — «побои», то есть избиение, драка. Однако в диалектах, особенно на севере и в Сибири, «побоем» называли также ударную часть цепа для молотьбы или вообще орудие, которым бьют. Отсюда первая версия происхождения: прозвище Побойко могли дать человеку драчливому, склонному к рукоприкладству, либо, наоборот, тому, кто часто становился жертвой побоев.

Есть и менее очевидный вариант. В некоторых регионах «побой» означал «бойкость», «проворство» — то есть качество человека, который быстро и решительно действует. В этом случае прозвище Побойко носило бы одобрительный оттенок, характеризуя расторопного и смелого человека. Оба значения реальны, и без точной локализации предка выбрать одно сложно, но первое — с дракой — встречается в письменных источниках чаще.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ов/-ев присоединялся к прозвищу на -о, давая форму притяжательного прилагательного (Побойко → Побойков). Такие фамилии массово складывались в XVI–XVII веках, особенно в среде крестьян и посадских людей, когда нужно было зафиксировать принадлежность к роду по отцу или деду. Фамилия Побойкова, соответственно, означает «дочь или жена Побойкова».

Географически фамилия Побойков (и Побойкова) встречается нечасто, но имеет заметный след в центральных и южных регионах России — в Тульской, Рязанской, Воронежской областях. Это косвенно указывает на то, что прозвище бытовало именно в чернозёмной полосе, где диалектное слово «побой» в значении «драка» было хорошо известно. Встречаются и варианты с ударением на второй слог — Побойков, что не меняет сути, но может говорить о местной произносительной традиции.

Однокоренных фамилий немного: Побоев, Побойкин, Побоищев. Все они образованы от той же основы, но с разными суффиксами, что подтверждает активность корня в прозвищной системе. Сама фамилия Побойкова не относится к числу дворянских или аристократических — её носители, скорее всего, были крестьянами или ремесленниками, чьё прозвище закрепилось в документах при переписях или рекрутских наборах.