Фамилия Побойков звучит как отчество от прозвища, и здесь есть интрига: корень «побой» многозначен, и от того, какое значение вкладывали в XIII–XVI веках, зависит, кем был первый носитель.

Самая прямая версия — прозвище Побой, от глагола «побить». В старину «побой» означало не только драку или сражение, но и «удар», «побоище». Прозвище Побой могли дать человеку драчливому, задиристому, тому, кто часто участвовал в потасовках. Либо, наоборот, тому, кто сам пострадал от побоев — так иногда называли в насмешку или как уличное прозвище. Суффикс -ов указывает на типичную патронимическую модель: Побойков — сын Побоя.

Менее очевидная, но исторически возможная версия связана с мирским именем Побой. В древнерусской традиции детей нередко нарекали именами-оберегами, чтобы отвести беду. Имя Побой могли дать ребёнку, родившемуся после тяжёлых родов или в семье, где часто болели дети, — считалось, что такое «некрасивое» имя отпугнёт злых духов. В этом случае Побойков — потомок человека, носившего охранительное имя.

В ономастических источниках фамилия Побойков фиксируется как редкая. Словарь Б. Унбегауна не упоминает её напрямую, но модель образования типична для северных и центральных областей России. Географически фамилия встречается в Вятской губернии и на Урале — в среде, где прозвищные фамилии от бытовых слов были особенно распространены.

Интересно, что фамилия не получила широкого распространения: однокоренные Побойнев, Побойкин, Побоев встречаются ещё реже. Это говорит о том, что прозвище Побой не стало массовым, а осталось локальным, возможно, в одной-двух крестьянских или посадских семьях. Версия о связи с ремеслом (например, бойщик скота или молотобоец) менее вероятна, так как для таких занятий в русском языке существовали отдельные прозвища (Бойцов, Молотков).