Фамилия Побудей — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а глагольная форма, причём в повелительном наклонении. Это так называемые «командные» фамилии, образованные от окриков, приказов или пожеланий. В данном случае основа — глагол «побудить» (в значении «заставить сделать, разбудить, подтолкнуть»). Форма «побудей» — это устаревшее или диалектное повелительное наклонение (современная литературная форма — «побуди»). Таким образом, фамилия буквально означает «Побуди (кого-то)», и её могли дать человеку с характерным прозвищем: либо тому, кто всех тормошил, будил и подгонял, либо, наоборот, тому, кого постоянно нужно было подгонять — с иронией.

Модель образования проста: фамилия застыла в форме чистой основы, без патронимических суффиксов -ов/-ев, -ин, -ский. Это указывает на то, что она могла возникнуть в среде, где фамилии ещё не устоялись и фиксировались по прозвищу в исходном виде. Такое характерно для украинских, белорусских и южнорусских земель, где «приказные» фамилии типа Побудько, Поберей, Покинь встречаются чаще, чем на севере. В русском ономастиконе фамилии на -ей (Побудей, Надей, Умей) — штучный товар, их легко спутать с украинскими формами на -ій, но в данном случае ударение, скорее всего, на последний слог: Побуде́й.

Учитывая редкость фамилии, её носители, вероятно, происходят из одного или нескольких компактных регионов. Следов в дворянских родословных книгах или у известных исторических деятелей фамилия не оставила — это однозначно крестьянская или казачья среда, где прозвище закреплялось за родом без изменений. Альтернативная версия, что фамилия могла произойти от имени Побуд (как сокращение от славянского двусоставного имени типа Побудислав), маловероятна: такие имена не фиксируются в источниках, а повелительная форма выглядит естественнее для бытового прозвища.