Фамилия Подберёзнов начинается с вопроса: почему в ней две буквы «з»? Это редкий случай, когда написание сохраняет древнюю черту — приставку «под-» и корень «-берёз-» слились, но двойной согласный остался, как напоминание о том, что перед нами не «подберёзовик», а более старая форма.

Основа фамилии — прозвище Подберёзный. Так в северных и центральных губерниях России могли назвать человека, жившего у берёзовой рощи, под берёзой, или того, чей дом стоял на границе леса. Берёза в русской традиции — дерево пограничное, между миром людей и лесом, поэтому «подберёзный» могло быть не просто топографическим указанием, а прозвищем по месту жительства на отшибе.

Модель образования — суффикс «-ов», который в русских фамилиях чаще всего указывает на принадлежность: «чей?» — Подберёзнов, то есть сын Подберёзного. Это типичная патронимическая (а точнее, отпрозвищная) фамилия, каких много в северных и поволжских говорах: Подберёзников, Подберёзкин. Но Подберёзнов стоит особняком — суффикс «-н-» в основе указывает на прилагательное, а не на существительное (ср. «подберёзный» vs «подберёзник»). Значит, прозвище было не по грибу, а по месту.

Географически фамилия тяготеет к Вологодской, Костромской и Кировской областям. В переписных книгах XVII века встречаются крестьяне с прозвищем Подберёзный в Тотемском уезде. Сословно — почти исключительно крестьянская среда, без дворянских ветвей. Фамилия не частотная, но устойчивая: за три века она почти не изменила написания, что говорит о поздней письменной фиксации (скорее всего, в XIX веке, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам).

Единственный спорный момент — не могло ли прозвище относиться к человеку, который носил одежду из берёзовой коры или занимался берестяным промыслом? Версия слабая: для таких ремёсел использовали слово «берестянник», а не «подберёзный». Так что основная версия — топографическая, по месту жительства у берёз.