Фамилия Погрошева — женская форма фамилии Погрошев, и её происхождение стоит искать не в очевидном, а в почти забытом слове. Вопреки возможной ассоциации с «грошом» или «грохотом», корень здесь, скорее всего, связан с диалектным глаголом «погрошить» — то есть «покрошить, измельчить» или, в переносном смысле, «потратить, разменять по мелочам». В говорах северных и центральных областей России «грошить» означало именно крошить что-то сыпучее или хрупкое, а приставка «по-» придавала действию оттенок завершённости или незначительности.

Сама фамилия образована по типичной восточнославянской модели: от прозвища Погрош (человек, который крошит, или, возможно, тот, кто разменивает деньги) через притяжательный суффикс «-ев» (чей? — Погрошев). Форма на «-а» — это стандартное указание на принадлежность к роду: жена или дочь Погрошева. В отличие от фамилий на «-ин», которые чаще образовывались от основ на «-а/-я», суффикс «-ев» крепился к основам на мягкий согласный или шипящий, что здесь и происходит.

Географически фамилия редкая и, по косвенным данным, может быть привязана к регионам бывшего Новгородского края или Вологодчины, где диалектная лексика сохраняла такие глаголы дольше. Встречается она и в Поволжье, но там, скорее всего, результат поздних переселений. Ономастические справочники (например, словарь русских фамилий В. А. Никонова) не выделяют Погрошевых в отдельную статью — фамилия не попала в массовые списки, что указывает на её локальный характер и недворянское, крестьянское или посадское происхождение.

Интересно, что фамилия могла возникнуть и как прозвище человека, занимавшегося мелочной торговлей или разменом монет — «грош» (мелкая монета) тоже дал бы похожую форму, но с другим ударением и смыслом. Однако с точки зрения словообразования версия с «грошить» выглядит убедительнее: прозвища от действий (Крошило, Молотило) были распространены в среде ремесленников и крестьян. Таким образом, предок носительницы фамилии Погрошева мог быть либо тем, кто крошил что-то (например, табак, соль или корм для скота), либо человеком, которого в деревне прозвали за привычку разменивать всё по мелочам — и то, и другое объясняет редкую, но живую фамилию без вычурных претензий.