Фамилия Половцов — один из тех случаев, когда корень слова прямо отсылает к тюркскому миру, но с русским суффиксом. Основа здесь — «половец» (представитель кочевого народа половцев, известных на Руси с XI века). Суффикс -ов указывает на принадлежность: буквально «чей?» — сын Половца. То есть Половцов — это потомок человека, которого в народе прозвали Половцем.

Прозвище Половец могло закрепиться за человеком по нескольким причинам. Самая прямая — этническая: так могли назвать выходца из половецкой степи, который перешел на русскую службу или попал в плен и остался жить среди славян. После монгольского нашествия многие половцы влились в состав русского населения, и память об этом сохранилась в фамилиях. Вторая версия — внешняя или поведенческая: светлые волосы (половцев на Руси называли ещё «жёлтыми» за цвет волос) или схожий с кочевниками образ жизни, например, любовь к верховой езде.

С географией фамилии всё не случайно. Половцовы — не редкая фамилия, но она явно тяготеет к южным и центральным регионам России, особенно к землям бывшего Дикого Поля (современные Воронежская, Тамбовская, Рязанская области). Именно там в XVI–XVII веках оседали служилые люди, в том числе потомки ордынской знати и кочевников. В дворянских родословных книгах Половцовы известны с XVII века — например, род, внесённый в родословие Санкт-Петербургской губернии, из которого вышел государственный деятель Александр Половцов.

Интересная деталь: в старых документах фамилию могли писать через «а» — Половцовъ, но встречался и вариант Половцев. Разница в суффиксе ( -ов против -ев ) объясняется разными говорами: на юге и востоке предпочитали твёрдое -ов, в центральных областях — мягкое -ев. Оба варианта означают одно и то же, но Половцов — более частотная форма.

Фамилия не имеет отношения к слову «половина» или «половодье», хотя такие народные этимологии встречаются. Корень здесь прозрачный, и связь с половцами — единственное убедительное объяснение. Если ваш предок носил эту фамилию, с высокой вероятностью он происходил из среды служилых людей, которые несли сторожевую службу на южных рубежах, или из крестьян, получивших фамилию по прозвищу деда.