Фамилия Помукчинская — женская форма фамилии Помукчинский, и её редкость сразу настораживает: ни в одном из крупных словарей русских фамилий (Б. Унбегаун, В. Никонов, Ю. Федосюк) она не упоминается. Это не значит, что фамилия не существует — скорее, она либо локальна, либо возникла недавно, либо искажена при записи.

Разбор словообразовательной модели даёт ключ. Суффикс -ский (в женском роде -ская) указывает на географическое или прозвищное происхождение: так образовывали фамилии от названий мест (сел, усадеб) или от прозвищ, подчёркивающих принадлежность. Основа Помукчин- — самая тёмная часть. Напрашивается связь с тюркским корнем мукча или мукчин, что в некоторых тюркских языках означает «смычок» или «скрипач» (ср. татарское мукча — смычок). Тогда фамилия могла означать «сын скрипача» или «человек, играющий на смычковом инструменте». Приставка по- в русских фамилиях встречается редко и обычно указывает на «потомка по отцу» (ср. Потёмкин — от «потёмка», Пономарёв — от «пономарь»). Возможно, Помукчинский — это «тот, кто из рода Мукчи» или «живущий за Мукчей» (гипотетическое урочище или речка).

Однако есть и более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть в результате ошибки писаря. При переписи населения или в церковных книгах фамилию Помякчинский (от помякчить — размягчать, возможно, прозвище мягкого человека) или Помучинский (от слова мука — страдание) могли записать как Помукчинская. Учитывая, что в XIX веке в южных и центральных губерниях России фамилии с суффиксом -ский часто давали детям священников или переселенцам из польских земель, Помукчинские могли быть выходцами из мелкопоместной шляхты или духовного сословия, чью фамилию переиначили на местный лад.

Географически фамилия нигде не зафиксирована как распространённая. В современных базах данных она встречается единично, чаще в женском роде, что говорит о недавнем закреплении формы (например, женщина могла получить фамилию от мужа, а исходная мужская форма утрачена). Если ваши предки носили эту фамилию, стоит проверить записи метрических книг по Подольской, Волынской или Минской губерниям — там чаще встречались фамилии на -ский с нестандартной основой.

Правдоподобнее всего версия о тюркском корне со значением «музыкант»: в южнорусских и украинских землях, где контакт с тюркскими народами был интенсивным, такие прозвища переходили в фамилии. Но без архивных находок это лишь гипотеза. Фамилия не имеет отношения к «муке» или «мучению» — основа явно не славянская.