Фамилия Посашилина — редкая, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Типичная для русских фамилий модель на -ин указывает на принадлежность: Посашилин — это человек из семьи Посашилы. А вот основа «Посашила» — загадка.

Скорее всего, перед нами отчество от прозвища или неканонического имени Посашила. В русских говорах слово «посашить» могло означать «посадить, посажать» или «сделать шаг, ступить» (от «шаг»). Но более вероятна связь с диалектным «сашить» — шить, мастерить, или с «сахать» — сажать, ставить. Человек по прозвищу Посашила мог быть тем, кто занимался посадкой (рассады, деревьев) или, наоборот, имел привычку «сажать» — то есть садиться, мешкать, быть медлительным. Прозвища с суффиксом -ила часто давали за характерную черту поведения: «посашила» — тот, кто всё делает с расстановкой, «садит» на месте.

Менее правдоподобна, но возможна версия от имени Посаша — уменьшительной формы от православного Иосаф или от славянского Посполит (редкое имя). Если так, то Посашилин — потомок Посаши, но в этом случае суффикс -ин естественнее, а основа теряет глагольный оттенок.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным областям России — именно там активнее использовались прозвища на -ила (Губила, Крутила, Посашила). Встречается она редко, поэтому у носителей нет широко известных однофамильцев, а сама фамилия не попала в массовые ревизские сказки — скорее всего, её носители были крестьянами или посадскими людьми, а не дворянами.

Итог простой: Посашилин — потомок человека с прозвищем Посашила, которое, скорее всего, описывало его манеру сажать что-либо (растения, вещи) или его медлительную, «сидячую» натуру.