Фамилия Рагойша — один из тех случаев, когда написание говорит о происхождении больше, чем корень. Суффикс -ша в восточнославянских фамилиях встречается нечасто. Он характерен для белорусской и, отчасти, украинской антропонимии, где нередко передавал прозвища с уменьшительным или фамильярным оттенком. В русской традиции такой формант почти не использовался, так что фамилия Рагойша с высокой вероятностью белорусская.

Основа — «рагоза» (или «рагоз»). В диалектах белорусского и западнорусского языков «рагоза» означала ссору, перебранку, склоку. Человек, получивший прозвище Рагоза, мог быть сварливым, вздорным или просто любителем споров. Фамилия Рагойша — это вторичное образование от этого прозвища, где -ша придаёт более мягкое, почти шутливое звучание. То есть предок был Рагозой, а его потомков, по местной традиции, записали как Рагойшей.

Вторая версия, менее распространённая, связывает фамилию с растением «рогоза» (камыш). В белорусских говорах «рагоза» — то же самое. Прозвище могли дать человеку высокому, тонкому или живущему у зарослей камыша. Однако семантика «ссоры» всё же встречается в источниках чаще, и для прозвищ она более типична.

Фамилия географически привязана к территории современной Беларуси и прилегающих областей России (Смоленщина, Брянщина). Встречается она нечасто, что подтверждает её локальное происхождение. Среди носителей нет широко известных исторических личностей, но в ономастических справочниках по белорусским фамилиям Рагойша упоминается как пример редкой модели на -ша.

Итог: фамилия Рагойша — белорусская по происхождению, образована от прозвища Рагоза (ссора) с помощью суффикса -ша. Носитель мог быть либо сварливым человеком, либо, по альтернативной версии, иметь отношение к камышовым зарослям.