Фамилия Разжигаев — редкий пример русской фамилии, в основе которой лежит не имя и не профессия, а живое прозвище, образованное от глагола «разжигать». В прямом смысле это означало «заставлять воспламениться, сильно нагревать, раскалять». Поэтому первое, что приходит на ум, — прозвище мог получить печник или истопник, человек, чья работа была связана с огнём и жаром. Второе значение глагола — переносное: «приводить в состояние возбуждения, раззадоривать». Тогда Разжигаем называли человека эмоционального, темпераментного, который умел завести окружающих, всколыхнуть спор или ссору.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная: прозвище Разжигай (повелительная форма глагола, как и многие русские прозвища) плюс типичный фамильный суффикс -ев, который добавляется к основам на мягкий согласный или на -й. Так что фамилия буквально значит «сын Разжигая», «потомок того, кого звали Разжигай».

Интересно, что прозвища, образованные от глаголов в повелительном наклонении, в русской ономастике не редкость — вспомним фамилии Держи, Смотри, Убирай. Но Разжигаев стоит в этом ряду особняком: у него нет очевидного «массового» источника вроде крестильного имени или распространённого ремесла. Это делает фамилию локальной и, скорее всего, связанной с конкретным родом, где прозвище закрепилось за основателем.

Стоит оговориться: в некоторых источниках можно встретить утверждение, что основой фамилии послужило церковное имя Разжигай. Это ошибка. В православных святцах такого имени нет, и оно не могло быть крестильным. Перед нами чисто мирское прозвище, которое давали в быту, а не при крещении.

Что касается географии: фамилия не относится к числу распространённых, её носители встречаются в разных регионах России, но без ярко выраженного «гнезда». Это типичная картина для фамилий, возникших из индивидуального прозвища, а не из массовой профессии или имени.

Итог: Разжигаев — фамилия-характеристика. Она либо указывает на занятие предка (печник, истопник), либо рисует портрет человека — горячего, заводного, способного «разжечь» любую компанию. Обе версии имеют право на жизнь, и выбрать между ними без дополнительных генеалогических данных невозможно. Но именно эта двойственность и делает фамилию живой: за ней стоит не сухой документ, а человек с характером.