Фамилия Разжигаева хранит в себе отголосок прозвища, которым нарекли предка. В основе лежит древнерусское слово «разжигать» — то есть «заставлять воспламениться, раскалять». Такое прозвище, скорее всего, получал человек, чья работа была связана с огнем: печник, истопник, мастер по кладке печей. В старину это ремесло ценилось высоко, и прозвище, данное по занятию, быстро закреплялось за человеком и его потомками.

Однако у этого прозвища есть и второе, переносное значение. Глагол «разжигать» также означал «приводить в состояние возбуждения, раззадоривать». В этом случае Разжигаем могли прозвать человека темпераментного, эмоционального, того, кто умел зажечь других словом или делом. Обе версии правдоподобны, и выбор между ними зависит от того, в какой среде возникло прозвище: в ремесленной или в бытовой, среди людей, ценивших живой нрав.

Суффикс -ев в фамилии указывает на принадлежность: Разжигаев — это «сын Разжигая». Такой тип фамилий был широко распространен на Руси, когда прозвище отца становилось наследственным именем семьи. Само прозвище Разжигай, в отличие от многих других, не ушло в прошлое: оно сохранилось в народной речи как характеристика человека, который умеет разжечь интерес или спор.

Фамилия эта довольно редкая, и ее носители разбросаны по разным регионам России. Встречается она и в форме Разжигаев, и в женском варианте Разжигаева, как в вашем случае. Прозвище, легшее в основу фамилии, звучало ярко и запоминающе, поэтому, скорее всего, оно давалось не случайно, а отражало ключевую черту характера или профессию предка.