Фамилия Римейка — редкий случай, когда корень слова не бросается в глаза, а суффикс выдаёт совершенно определённое происхождение. Форма на -ейка, а не на -ов или -ин, сразу указывает на западную, скорее всего, белорусскую или украинскую территорию. В этих землях фамилии с суффиксом -ейка (как и -енко, -ук, -ик) были особенно распространены среди крестьян и мещан, и обозначали они чаще всего потомка человека, названного в основе.

Что же за основа? Самое вероятное объяснение — это производное от личного имени Рим. В православных святцах имя Рим (мужская форма) встречается редко, но в католической и униатской традиции, особенно на западе Беларуси и Украины, оно было более употребительно. Тогда Римейка — это «сын Рима» или «маленький Рим», то есть патронимическое прозвище. Менее распространённая, но возможная версия — прозвище от слова «римейк» (от английского remake — переделка). Однако в русском и белорусском языке это слово закрепилось лишь в XX веке, а фамилия явно старше, поэтому версия с именем выглядит убедительнее.

Есть и третья, более редкая гипотеза: связь с топонимом Рим. В таком случае фамилия могла указывать на выходца из города Рим или из деревни с похожим названием (например, Римки в Витебской области). Но для такой географической привязки обычно использовали суффиксы -ский или -ец, а -ейка — это именно уменьшительно-патронимический формант. Поэтому вариант с личным именем Рим и последующим суффиксом -ейка — самый правдоподобный.

По социальному составу носители фамилии Римейка — это, скорее всего, потомки крестьян или ремесленников из западных губерний Российской империи. Фамилия не дворянская, не купеческая, а «народная», что для суффикса -ейка типично. Географически её стоит искать в Гродненской, Минской или Волынской областях, а также в приграничных районах современной Польши. Если вы носите эту фамилию, ваши предки, вероятно, жили в тех краях и носили имя или прозвище Рим — не в честь города, а как личное имя, которое со временем превратилось в фамильное прозвание.