Фамилия Розбианская — редкий пример фамилии, в которой польское, украинское и еврейское происхождение переплелись так, что разделить их почти невозможно. На слух она звучит как «розбиянская» — с явным ударением на втором слоге, и это подсказывает корень.

Самый прямой путь — от польского или украинского слова «розбій» (разбой, грабёж). Основа «Розбиян» могла быть прозвищем для человека беспокойного, сварливого или того, кто промышлял разбоем. В польском языке есть слово «rozbić» — разбить, проломить, и «rozbójnik» — разбойник. Суффикс -ан- в таком прозвище (Розбиян) указывал на деятеля: буквально «тот, кто разбивает, грабит». А фамильный формант -ская — типично польский и украинский, означающий принадлежность к местности или роду. То есть Розбианская — это либо жена или дочь Розбиана, либо женщина из семьи Розбианов.

Вторая версия — топонимическая. В Польше и на Западной Украине существовали хутора и деревни с похожими названиями, например, Розбитівка или Розбійна. Фамилию могли дать переселенцу оттуда. Однако фамилия на «-ская» в женском роде чаще встречается у дворянства и шляхты, но в реальности её носила и мещанская, и крестьянская среда — особенно после того, как австрийские и российские чиновники в XIX веке массово приписывали фамилии по месту жительства.

Третий вариант — еврейский. В среде ашкеназских евреев фамилии на «-ская» нередко давали по названию местечка. Если существовало местечко Розбиан (гипотетически), то его уроженка могла получить такую фамилию. Но документальных подтверждений этому нет, и корень «розбой» для еврейских фамилий нехарактерен.

Сравните с однокоренными: Розбицкий, Розбиян, Разбойников. В отличие от них, форма Розбианская — женская и застывшая. В современной России она встречается единично, чаще в южных и западных регионах. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из бывшей Речи Посполитой — с территории современной Западной Украины, Беларуси или юго-восточной Польши.