Оно ведёт своё начало от названия города Рын. Рын (польск. Ryn) — это небольшой (около 3000 жителей) мазурский городок в Польше, который входит в Варминско-Мазурское воеводство, Гижицкий повят. Он живописно расположен на перекрёстке двух озёр: закрытого, объявленного зоной тишины озера Олув, и соединённого с Великими мазурскими озёрами - озера Рыньского. Над городом возвышается замок Тевтонского ордена XIV века, где в 1393-1524 годах размещалась штаб-квартира комтурии. Одним из первых тевтонских командиров в рыньском замке был Конрад Валленрод, в последствии Великий магистр Тевтонского ордена, ставший заглавным героем поэтической повести Адама Мицкевича. Окрестности Рына славятся красотой. Скорее всего, родоначальник Рынейских был уроженцем города Рын или долгое время жил в нём.