Фамилия Рыжичкин — это редкий случай, когда в основе лежит не рыжий цвет волос, а, скорее всего, гриб. В русской ономастике фамилии, образованные от названий грибов, встречаются, но не так часто, как от имён или профессий. Ваш предок мог получить прозвище Рыжик, которое затем превратилось в Рыжичкин.

Суффикс -ин здесь указывает на принадлежность: «чей сын?» — Рыжичкин, то есть сын Рыжичка. А форма «Рыжичок» — это уменьшительно-ласкательное от «Рыжик». Такая двойная суффиксация (-ич- + -к-) типична для прозвищ, которые давали детям или младшим членам семьи. Если бы фамилия образовалась напрямую от «Рыжик», мы бы имели Рыжиков. Но Рыжичкин — это более сложная, «внуковая» форма.

Прозвище Рыжик в старину давали не только рыжеволосым. В некоторых говорах так называли человека с веснушками, а в Сибири — даже лису. Однако основная версия — грибная. Рыжики — одни из самых заметных и вкусных лесных грибов, и прозвище мог получить грибник, торговец грибами или просто человек, чем-то напоминавший этот гриб (например, яркой шапкой).

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным регионам России, где распространены сосновые боры и, соответственно, рыжики. Встречается она редко, что говорит о локальном происхождении — возможно, в одном-двух сёлах прозвище прижилось и дало начало фамилии.

Есть и альтернативная, менее правдоподобная версия: связь с прилагательным «рыжичкий» (диалектный вариант слова «рыжий»). Но она слабая, потому что форма «Рыжичкин» естественнее выводится из «Рыжичок», чем напрямую из «рыжий». Так что с большой долей вероятности ваши предки были либо приметными рыжими людьми, либо имели прямое отношение к сбору или продаже рыжиков.