Фамилия Сабарайкина — женская форма мужской фамилии Сабарайкин. Её основа — прозвище или имя Сабарайка, а в нём, скорее всего, скрыто тюркское слово «сабар» (или «сабыр»), означающее «терпение», «выдержка». В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, «сабыр» — это и личное имя, и характеристика: терпеливый, сдержанный человек. Суффикс -ай-/-айка в русских фамилиях тюркского происхождения часто служит уменьшительно-ласкательной или обиходной формой: имя Сабыр превращалось в Сабарай, а от него — Сабарайка.

Модель образования проста: к основе на -а/-я добавляется типичный русский притяжательный суффикс -ин, который указывает на принадлежность («чей?» — Сабарайкина дочь или жена). Такая схема характерна для фамилий, возникших в среде, где русская ономастика смешивалась с тюркской антропонимией — в Поволжье, Приуралье или на юге России. Фамилия Сабарайкина (и её мужской вариант) нечастая, её носители, вероятно, происходят из регионов с татарским или башкирским влиянием.

Есть и более экзотическая версия: связь с диалектным русским словом «сабара» — так в некоторых говорах называли неуклюжего или медлительного человека. Но здесь меньше оснований, потому что в основе фамилии стоит именно форма с -ай-, а не чисто русская лексика. Тюркский корень надёжнее: он даёт и имя, и прозвище, и хорошо вписывается в модель, по которой в XVI–XVII веках образовывались фамилии у служилых татар и крещёных инородцев.

Написание фамилии с буквой «й» перед суффиксом — не опечатка, а закономерный результат: основа Сабарайка в косвенных падежах даёт «Сабарайкина», так же как, например, Балалайкин — от Балалайка. В современном бытовании фамилия чаще встречается в женской форме, что связано с особенностями записи в паспортах и документах. Если вы ищете корни по мужской линии, стоит смотреть на вариант Сабарайкин — именно от него идёт вся родословная.