Фамилия Сапешкина — женская форма, а мужская, Сапешкин, образована по стандартной русской модели с суффиксом -ин. Этот суффикс указывает на принадлежность: Сапешкин — значит «сын Сапешки» или «человек из рода Сапешки». Основа здесь — прозвище или нецерковное имя Сапешка, которое, в свою очередь, восходит к глаголу «сапать» — в южнорусских и украинских говорах это означало «сопеть, тяжело дышать», а также «работать медленно, копаться» (отсюда и слово «сапа» — мотыга, и «сапкать» — шаркать ногами). Таким образом, Сапешкой могли прозвать человека с тяжелым дыханием, медлительного или, наоборот, того, кто занимался прополкой и рыхлением земли — сапой.

Менее вероятна, но возможна связь с диалектным «сап» — «большая рыба» (например, сазан), тогда прозвище могло относиться к рыболову или крупному человеку. Однако в ономастике чаще фиксируется «сопящая» версия: в словаре русских фамилий Б. Унбегауна подобные основы (Сапега, Сапожников) разбираются через глагол «сапать» именно в значении «сопеть». Сравните с фамилиями Сапегин, Сапун, Сапрыкин — у них та же смысловая ветвь.

Географически фамилия Сапешкина встречается преимущественно в центральных и южных областях России, а также на Украине, что подтверждает её южнорусские корни. В дореволюционных переписях носители фамилии чаще всего были крестьянами или мещанами, и прозвище, скорее всего, давалось по бытовой черте — манере дышать или работать. В написании фамилии стоит обратить внимание на чередование «п/ш» (Сапа — Сапешка), что типично для русских уменьшительных форм: от «Сапа» через суффикс -ешк- получается «Сапешка» (как «дядя — дядешка», «тетя — тетешка»).

Итак, ваш предок по мужской линии, скорее всего, был человеком, которого в деревне за что-то прозвали Сапешкой — либо за сопение, либо за неторопливую работу с тяпкой. Фамилия сохранила это бытовое прозвище в неизменном виде, перейдя из устного обихода в официальные документы.