Фамилия Сапыга звучит редко и не сразу угадывается по корню. В ней нет привычных суффиксов -ов или -ин, а значит, перед нами не притяжательная форма, а застывшее прозвище. Образована она напрямую от слова «сапыга» — так в южных и западных говорах называли неуклюжего, неповоротливого человека, увальня. Слово это родственно украинскому «сапати» — тяжело дышать, пыхтеть, откуда и пошла характеристика медлительного, грузного человека.

Версия с прозвищем — основная и самая правдоподобная. Альтернативное объяснение связывает фамилию с тюркским корнем «сап» — рукоятка, черенок, но такое толкование слабее: в русской ономастике прозвища по внешним чертам и характеру встречаются гораздо чаще, чем названия предметов быта в чистом виде.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и украинским землям. Встречается в Беларуси и на Смоленщине, что подтверждает её южнорусское происхождение. Ударение, скорее всего, падает на второй слог — Сапы́га, хотя в разных семьях могло закрепиться по-своему.

Суффикс -ыг- в русских фамилиях — редкость. Он характерен скорее для украинских прозвищных моделей (сравните: Ковыга, Ходыга) и подчёркивает, что фамилия не книжная, а народная, деревенская. Носитель такой фамилии в XVI–XVII веках был, вероятно, крестьянином или ремесленником, получившим уличное прозвище от соседей.

В дворянских родословных книгах Сапыга не числится. Это фамилия простого сословия, и её редкость сегодня — не повод считать её утраченной: в современных справочниках она фиксируется единичными случаями, в основном в западных областях России и в Беларуси.