Фамилия Сатеров — редкая и по-своему загадочная. В ней нет привычного для русских фамилий суффикса -ов от отчества на -а (-я): если бы основа кончалась на -а, мы бы получили Сатерин. Суффикс -ов здесь присоединён к основе Сатер-, что сразу наводит на мысль о заимствованном или прозвищном происхождении.

Самое прямое объяснение — фамилия образована от прозвища или мирского имени Сатер. В русских говорах слово «сатер» (или «сатырь») встречается в значении «острый, бойкий на язык человек», «насмешник», «балагур». В словаре В. И. Даля зафиксирован глагол «сатерить» — говорить бойко, резко, с насмешкой. Таким образом, Сатеров — потомок человека, которого в округе знали как острослова или задиру.

Другая, менее вероятная версия связывает фамилию с тюркскими корнями. В тюркских языках «сатыр» (или «сатыр») может означать «покупатель», «торговец», но для русского ономастикона такое прозвище нехарактерно. Если бы фамилия была тюркской, скорее выглядела бы как Сатыров или Садыров. Форма Сатеров с мягким -ер- тяготеет именно к русской диалектной основе.

Встречаемость фамилии крайне низкая. По открытым данным, Сатеровы живут в основном на юге России — в Ростовской области, Краснодарском крае, есть единичные носители в Москве и Санкт-Петербурге. География подсказывает, что фамилия могла возникнуть в казачьей среде, где прозвища за острый язык давали особенно охотно.

С точки зрения словообразования фамилия типологически проста: прозвище + патронимический суффикс -ов. Никаких дворянских или книжных корней — чисто народная модель, распространённая среди крестьян и казаков. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были людьми с характером: не молчунами, а теми, кто умел постоять за себя словом.