Фамилия Саубетов — редкий случай, когда основа, скорее всего, не русская, а тюркская, но оформлена она по русской патронимической модели. Суффикс -ов указывает на принадлежность: Саубетов буквально значит «сын (или потомок) Саубета». Вопрос упирается в то, что такое «Саубет».

Самое правдоподобное объяснение — это искажённое или диалектное тюркское имя Саубат / Саубет. В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) есть корень «сау» — здоровый, целый, невредимый. Вторая часть «бет» может означать «лицо», «лик». В сумме «Саубат» — «здоровое лицо», или же это форма арабского имени Саубат (от «сабат» — твёрдость, устойчивость). Имя могло даваться как пожелание крепкого здоровья и благополучной судьбы.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с арабским словом «саубет» (ثوب) — «одежда», «платье». В этом случае прозвище Саубет мог получить портной или торговец тканями. Но для прозвища такая форма в русской среде нехарактерна, а для тюркского имени — вполне.

Географически фамилия тяготеет к регионам с сильным татарским и башкирским населением: Татарстан, Башкортостан, Оренбургская область. Встречается она и у казахов, но с другим ударением и написанием (Саубетов, Саубатов). В дореволюционных метрических книгах она почти не фиксируется — это говорит о том, что фамилия либо поздняя (конец XIX — начало XX века), либо бытовала в среде, где фамилии долго не были обязательными (например, у тептярей или башкир-вотчинников).

С точки зрения социального контекста, носители фамилии Саубетов — выходцы из крестьянского или военно-служилого сословия. Среди татар и башкир фамилии на -ов часто получали те, кто нёс службу (казаки, кантонные начальники) или имел земельный надел. Встречается фамилия и у крещёных татар (кряшенов), где она могла закрепиться после крещения без смены основы.

Однокоренных фамилий в русском языке нет — это не от слова «сауна» или «суббота». Это чистый тюркизм, адаптированный русским суффиксом. Если вы Саубетов, ваши предки, скорее всего, жили на южном Урале или в Закамье, а имя Саубет носил основатель рода — человек, которого так прозвали за крепкое здоровье или назвали в честь старинного арабского имени.