Фамилия Савчикова — женская форма от Савчиков, и её разумнее разбирать через мужской вариант. В основе лежит имя Савва, сокращённая форма которого — Савка. Уменьшительно-ласкательный суффикс -чик дал имя Савчик: так в быту могли называть мальчика или взрослого мужчину по имени Савва. Фамилию Савчиков, таким образом, образовали по стандартной для восточнославянских фамилий модели: от прозвища или неканонического имени на -чик добавили притяжательный суффикс -ов, означающий «чей?» — «сын Савчика» или «потомок Савчика».

Исходное имя Савва — краткая форма древнееврейского Савватий (суббота, покой), но в русской традиции оно давно стало самостоятельным крестильным именем. В святцах почитается несколько святых с этим именем, что обеспечило имени широкое хождение в крестьянской и купеческой среде. Именно из простонародной речи, где имя сокращали до Савка, а затем и до Савчик, и вышла фамилия.

С точки зрения географии, фамилия Савчиков и её женская форма Савчикова чаще встречаются в южнорусских и украинских областях, где суффикс -чик в именах и прозвищах особенно распространён. В центральных и северных губерниях России предпочитали форму Савкин или Саввин, поэтому Савчиков — маркер определённого диалектного ареала. Социально предки носителей фамилии скорее всего были крестьянами или мещанами: дворянские роды с такой основой единичны и, как правило, имеют иную, книжную форму написания (Саввины).

Однокоренные фамилии — Саввин, Савкин, Савков, Савенков — различаются суффиксами, но восходят к тому же имени. Савчикова выделяется среди них уменьшительным -чик, который мог указывать на младшего в семье или на человека небольшого роста, но в ономастике такие прозвища чаще просто ласкательные, без точной физической характеристики.