Фамилия Савешкин образована от имени Савешко — уменьшительной формы крестильного имени Савва. Савва (от арамейского «сава» — старец, дед) в святцах связано с несколькими раннехристианскими святыми, в том числе с преподобным Саввой Освященным и Саввой Сторожевским. В русской народной среде имя быстро обросло уменьшительными вариантами: Сава, Савка, Савушка, Савешко. Последняя форма с суффиксом -ешк- характерна для северных и северо-восточных говоров, где так образовывали обиходные имена (ср. Павешко от Павел, Иванешко от Иван). Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: «чей?» — сын Савешки, то есть Савешкин.

По модели образования фамилия относится к типично русским «полуотчествам» на -ин, которые в XV–XVII веках закрепились за крестьянскими и мещанскими родами. Дворянские фамилии чаще оформлялись суффиксом -ов/-ев, а -ин оставался в среде посадских людей, черносошных крестьян и однодворцев. Географически фамилия Савешкин встречается в основном в старых русских областях — Вологодской, Архангельской, Костромской, а также в Поволжье. В переписях XVII–XVIII веков носители фамилии чаще всего записаны как крестьяне или церковнослужители: Савешкины нередко становились дьячками и пономарями, поскольку имя Савва было популярно в духовном сословии.

Редкая черта фамилии — сохранение древнего суффикса -ешк-, который в других регионах вытеснялся формой -ушк- (Савушкин). Если встретили Савешкина, можно с высокой вероятностью предположить, что его предки жили на Русском Севере или в Заволжье. В письменных источниках фамилия фиксируется с XVI века, хотя в массовых метрических книгах появляется позже — в основном с XVIII столетия.