Фамилия Саясин — редкая, с неочевидной на первый взгляд основой. В ней два возможных объяснения, и оба заслуживают внимания.

Первый и самый вероятный вариант: фамилия образована от прозвища Саяса. Это слово могло быть вариантом «саяна» или «саяка» — так в некоторых русских говорах называли нелюдимого, угрюмого человека, дикаря. В «Толковом словаре» В. И. Даля есть слово «саяться» со значением «таиться, прятаться, скрываться». Если предок получил прозвище Саяса (то есть нелюдим, отшельник), то его потомки стали Саясиными. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Саясин, то есть сын или потомок Саясы.

Второе объяснение — географическое. В Сибири есть река Саяса (приток Иртыша) и Саянский хребет. Житель с берегов этой реки или переселенец из тех мест мог получить прозвище Саяса, а фамилия закрепилась за его детьми. Эта версия менее правдоподобна: фамилии от названий рек и гор обычно оформляются суффиксами -ский/-ской (Саянский, Саясский), а не -ин. Однако в народной речи упрощение возможно, тем более что фамилия явно недворянская и могла возникнуть в крестьянской среде.

В словарях русских фамилий (в том числе у Б. Унбегауна) фамилия не упоминается — это говорит о её редкости. Встречается она в основном в Сибири и на Урале, что косвенно подтверждает обе версии. Социальный контекст: крестьяне или казаки, поскольку в среде духовенства и дворянства такие фамилии не фиксируются.

Итог: Саясин — это «сын нелюдима» или, реже, «выходец с реки Саясы». Точнее сказать сложно, но прозвищная версия убедительнее.